扑克中的数学

大部分扑克玩家都能学会数补牌，并且记住几个常见的概率，但是，大多数人在面对更复杂的扑克数学或无法在书上或网上查到的情况时，仍是一头雾水。尽管我自己的书架上有一本关于扑克概率的书（Matthew Hilger写的《德州扑克赔率和概率》，里面的资料非常有用），但我有时也会碰到几次到处都无法查到的扑克概率问题。这时该怎么办？其实，解决更复杂的扑克概率问题的技术通常简单又直接，但其中有一项不是对所有人都很容易：计算手牌的组合。

为了帮助大家解决难题，我会从简单和熟悉的例子着手，先向你介绍如何计算，然后再过渡到复杂的案例。

在每个例子中，我都会进行相同的三个基本步骤：

第一步：计算所有可能的结果的数目。

第二步：计算出我们感兴趣的结果的数目。

第三步：用后者除以前者，得出一个概率。

首先我要先给你们介绍一款强大的工具——组合计算器。

假设你想知道在买彩票时有多少不同组合的数字可以挑选，我们先假设这个彩票使用的是乒乓球机器，共有60个数字的球，其中有5个球会随机成为大奖的数字组合。

这个数学计算是很明确的，但手段非常累人，但我们有更加简单的计算方法：使用电子表格的内嵌功能，可以进行这种计算。在Microsoft Excel中，你在任何格子中输入 =COMBIN(x,y)。其中x指的是能抽出物体的总数，y指的是抽出的数目，在我们假想的彩票中，你要分别输入的是60和5。点击返回键或回车键，电子表格会显示出答案：5,461,512。

如果你手头没有电子表格，你可以在网上找到许多在线组合计算器（当然Eccel是最便捷的）。

我们会在所有的例子中都使用这款工具，因为学习用它解决扑克问题就是本文存在的意义。

例1：同花听牌

你有A♥K♥，翻牌是2♥-6♥-10♣。你在公共牌发完后完成同花的概率有多少？

大部分玩家会按照如下的方法来思考：在47张未发的牌中还有9张红心。转牌是红心的概率是 9/47，也就是大约19%。把这个数字乘以2，因为你在河牌还有一次机会，也就是大约38%的概率。四舍五入到40%足够让你在扑克桌上完成实际的扑克决策，达到你的目的。

虽然在打牌过程中，能做到这样已经够好了，但了解如何计算出更精确的结果也是有帮助的，因为我们会用同样的基本过程来解决后面更难的问题。关键是，我们不要把第四条街和第五条街独立开来，而是当做一个整体来考虑，把这两张牌当做对子。转牌和河牌有多少不同的组合呢？对于两张牌的顺序，我们先放在一边，先Q♥后7♣还是先7♣后Q♥都没关系。你经过一番计算就能得出47张未出的牌中所有可能的两张牌的组合，其实不用这么麻烦，我们还是用工具来替代吧。

我打开电子表格，输入=COMBIN(47,2)，然后点击回车键，Excel立刻显示出1,081，这就是从47张牌中可能得出的两张牌的不同组合的数目。

这就是第一步：可能结果的总数。

第二步是判断这些对子中有多少是我们感兴趣的，也就是至少包含一张红心的对子。由于未发的牌中有9张红心，我们输入COMBIN(9,2)得出全都是红心的对子数目为36，有一张红心的对子有9 x 38 = 342（因为每张红心都可以与38张非红心配对）。因此，包含至少一张红心的不同组合的数目是36 + 342 = 378。

第三步最简单。我们把第二步得出的378除以第一步得出的 1,081，得到结果0.350，也就是35.0%。

这个结果这跟我们粗略的估计是非常接近的，但是这个方法更加强大，因为它不只能解决这一个问题，还能应用于许多在牌局进行中无法用快速的估算解决的扑克数学问题。

例2：同花的翻牌

假设你想知道翻牌出现彩虹牌（比如三种不同的花色），两种花色或一种花色的相对频率，当然你可以上网一查就知道结果，但我希望你能增加计算一下。这不仅是因为你自己算出来的记得更牢，还因为相同的方法可以运用到其他你无法查到的问题中。

第一步：和之前一样，我们需要计算可能的结果的总数。

在这个例子中是翻牌的总数，现在我们有两个办法，要么拿一手具体的牌中发出的两张牌来考虑，要么是只看普遍的情况。我认为后者更加有用，不过这两者得出的答案是非常接近的。

那么我们需要知道一副52张的扑克牌能有多少3张牌的组合。

Excel的公式是=COMBIN(52,3)

你也可以使用在线组合计算器，在n那里输入52，在r那里输入3，得出答案22,100。也就是说，在德州扑克或奥马哈中，你在翻牌能得到22,100种不同的翻牌，其中三张牌的顺序是可以互换的。毕竟在荷官发三张翻牌时，我们并不在意排列的顺序。

第二步是计算出我们感兴趣的结果的数目。

我们先从最简单的开始：翻牌是同一花色，拿黑桃来举例。三张黑桃的不同组合有多少？继续使用组合计算器，我们输入13（黑桃的总数）和3（我们一次拿出的数目），然后发现共有286种不同的三张黑桃组成翻牌的组合。扑克牌一共有四种花色，所以总共的组合数目为286 x 4 = 1,144种同一花色的翻牌。

第三步我们要用这个答案除以所有翻牌的总数（也就是22100），得到最终的答案是0.052,也就是5.2%。也就是说，在所有翻牌中，只有超过5%是同色的。

这只是答案的一部分，接下来我们重复上述步骤，计算彩虹面（三种不同的花色）出现的概率。这个更难算，事实上从概率的角度而不是组合的角度来思考会更容易。

假设翻牌第一张牌是梅花，下一张牌是梅花以外的花色的概率是多少？还有51张牌未发，其中有12张梅花和39张非梅花，所以概率是39/51。发第三张翻牌时，未发的牌还有50张，其中有12张梅花和12张花色跟第二张牌相同的牌，还剩26张牌能完成彩虹牌。第三张是第三个花色的概率就是26/50。因此第二张翻牌和第三张翻牌都跟第一张不同花色且两张花色业相互不同的概率加起来是39/51 x 26/50，也就是 0.398。四舍五入后的结果是整整40%。

现在我们必须计算有两张牌同花色一张牌不同花色的翻牌的数目。每次抽出两张同样花色比如方片的对子牌的组合是COMBIN(13,2) = 78，那么其他三种花色总共还剩下13张牌，总共是39张，所以两张方片+一张非方片的不同翻牌有78 x 39 = 3,042。由于有四种花色，这个数字再乘以4，得到12,168。第三步我们要把这个数字除以翻牌的总数(22,100)，最终的答案是0.551,也就是 55%。

如果你够细心的话，可以用简单的逻辑推导出最后一段的结果，翻牌必须有一个，两个或三个花色。我们已经计算出一种花色(5%)和三种花色(40%)的概率，那么剩下其他的概率（55%）就是两种花色的了。

所以我们得出一个值得记住的结论：在你的扑克生涯中，你会看到大约5%的翻牌是单色的，55%是两色的，40%是彩虹面。

在下一部分的文章中，我会提高游戏的级别，使用相同的基本步骤和工具来解决一些更加困难的问题。

接着说，在第一部分，我叙述了解决这类问题的三个基本步骤。

第一步：计算可能的结果的总数。

第二步：计算我们感兴趣的结果的数目。

第三步：用后一个数目除以前一个得出概率。

下面我们继续进入更难的问题。

例3：D约

你已经打了好几个小时安静得让人昏昏欲睡的Cash游戏，大家都很无聊，为了活跃气氛，一位玩家提议玩个外围：“我以等额D注猜下一个翻牌至少会有一张5，一张6或7。”你应该接下这个外围吗？

答案当然取决于随机选择的翻牌至少有其中一张牌的概率是高于50%还是低于50%，下面我们来计算一下。

第一步：根据第一部分的一个例子，我们知道所有可能的翻牌的数目是22100。

第二步：接下来我们要搞清楚多少翻牌是包含了5、6或7的。根据第一部分第二个例子(同花的翻牌），你可能以为要做一些粗略的运算，分别计算翻牌有其中一张牌，两张牌和三张牌的数目，然后得出总数。

还好我们不需要这么做，可以走捷径，我们只需要计算出哪些翻牌不包含这三张牌。从逻辑上看，其他所有翻牌一定至少有其中一张牌，在这个问题中，我们不需要区分翻牌分别包含一张，两张，和三张牌的特定数目。那么有多少个翻牌没有5,6或7呢？假设一副牌拿走了这12张牌，还剩40张牌，我们随机选出三张。回到电子表格这位老朋友（或在线组合计算器）这里，我们得出COMBIN(40,3)=9880。

第三步：我们用所有可能的翻牌的总数22100除以9880，得到答案0.447，也就是 44.7%的概率是翻牌没有5、6或7。通过简单的减法，翻牌至少有一张上述牌的概率是100%减去44.7%=55.3%。

结论：这个外围不该接（正如所有对手提供的外围一样），因为你用50-50的赔率来下注，但是真实的赔率是55-45，对你不利，相反，你应该向其他人提供这个外围。

例4：扑克室的优惠

其实这个例子是我写整篇文章最初的动力。我的一位朋友最近去了路易斯安那州的riverboat娱乐场，他跟我说他从来没见过扑克室在低级别无限注德州扑克游戏中提供的优惠。每当前四张公共牌是四张同花和四张顺子（连续的，不能是卡顺）或三条时，扑克室会在下一手牌发牌前往底池增加$300。其实在这里提出了一个问题，这种符合资格的公共牌出现的频率是多少？

这里谷歌帮不了你了，因为网上没有所有的答案，所以我们还是自己来算一下吧。

第一步，我们需要知道共有多少不同的四张牌的公共牌。到现在为止，从52张牌中计算四张牌的组合的数目对你来说应该就像小孩的把戏了，你想用哪个工具都行，答案是270725。

其中有多少公共牌包含三条呢？这里就要想一下了。我们把AA作为例子，从未发的牌中发出三张A共有四种不同的方法，因为 COMBIN(4,3)=4。你也可以不计算，你只要知道每拿掉一张A，其他三张A有四种不同的组合方式就能得出结论。

对于这四种组合的A来说，任何48张剩余的牌都有可能是四张公共牌的最后一张。这意味着我们会看到 4 x 48 = 192种不同的三张A+一张非A的组合。四张公共牌全都是A当然也符合三条的资格，所以我们可以得到193种不同的组合。从A到K的13张牌每张都能用相同的方式进行推理，于是我们得出四张公共牌包含三条的不同组合总共有 193 x 13 = 2,509。记住，在这个计算中我们忽略了牌的顺序。如果计较顺序的话，就必须使用数学工具来计算排列组合，这个概念虽然有关系但跟本文关系不大。

现在考虑从4开始的同花的条件，对于13张牌中任何一种花色，我们需要知道四张牌的组合有多少，你知道该怎么计算啦：COMBIN(13,4) = 715。由于任何同花都符合条件，所以4 x 715 = 2,860。

那四张顺子呢？我们先从最低的顺子开始，A-2-3-4（顺序同样不重要）。每张牌都可能是任何四种花色，所以四张牌组合（比如不同花色的A组合不同花色的2，任何花色的3或任何花色的4）共有 4 x 4 x 4 x 4，所以总共有256种组合。不过，为了避免与四张同花的组合重复，我们需要把四张牌是同一花色的组合（比如四张同花顺）减掉，所以剩下的组合是252种。

从A-2-3-4到J-Q-K-A共有11种不同的连续顺子，这意味着四张公共牌是顺子的组合总共有252 x 11 = 2,772种，排除了跟四张同花重复的组合。

等一下，我们快算完了！

加上三条/四条，同花和顺子的公共牌，我们得出2,509 + 2,860 + 2,772 = 8,141种不同的公共牌组合符合扑克室的优惠资格。

最后在第三步，我们用8,141除以第一步得出的270,725，最后的答案是0.030，也就是将近3%。

那么我们的结论是，大约有3%的公共牌会符合下一次发牌前扑克室增加$300底池的资格。然后，你可以合理地推测出这个优惠平均来说，是否增加了你每手牌或每小时的期望值，从而判断是否值得一试。

说句题外话，你有没有意识到前四张公共牌出现三条、四张同花和四张顺子的概率大致相同？它们出现在前四张公共牌的概率都大约是1%。

结语

当你明白如何使用概率计算器，你能回答的关于扑克概率的问题会比你原本只能数数补牌高出很多个段位。缺点是，你没法在忙碌的打牌过程中计算，但是当你有时间时，你可以探索各种从前让你头疼的有意思的扑克数学问题。